家庭教師の想い 
目次
第３問
複数の人がそれぞれ違うプレゼントを１つずつ持ちよって交換会を開きます。全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会が終了します。
⑴ ２人または３人で交換会を開く場合
( i ) ２人で交換会を開く場合のすべての配り方を樹形図で表します。$A$ さん、 $B$ さんのプレゼントをそれぞれ $a, b$ とします。
今後、アルファベットの大文字が交換会の参加者で、それぞれの小文字が参加者が持参したプレゼントとします。
これにより２人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方とその確率は次のようになります。
( ii )３人で交換会を開く場合のすべての配り方を樹形図で表します。
すべての配り方は異なる3文字（$a, b, c$)の順列と等しくなります。
これにより３人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方とその確率は次のようになります。
( iii )３人で交換会を開く場合、４回以下の交換で交換会が終了する確率を求めます。
３人で交換会を開く場合、「１回で交換会が終了する確率」はすでに求めてあります。
すると余事象を考えれば「１回で交換会が終了しない確率」も分かりますね。
２回で終了する確率は、「１回目で終了しない確率」に「２回目で終了する確率」を掛ければ求まります(積事象)。
３回で終了する確率は、「１回目で終了しない確率」と「２回目で終了しない確率」と「３回目で終了する確率」を掛ければ求まります。
４回で終了する確率は、「１回目で終了しない確率」と「２回目で終了しない確率」と「３回目で終了しない確率」と「４回目で終了する確率」を掛ければ求まります。
これらをまとめると次のようになります。
そして、これらの事象はすべて排反なので、3人で交換会を開く場合、４回以下の交換で交換会が終了する確率は、これらの確率をすべて足せば求まります（和事象）。
⑵ ４人で交換会を開く場合
１回の交換で、４人のうち、ちょうど１人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合を考えます。
たとえば、$A$ さんが自分のプレゼントを受け取り、残りの $B$ さん、$C$ さん、$D$ さんが自分以外のプレゼントを受け取るのは、$B$ さん、$C$ さん、$D$ さんだけで交換会を開き、１回の交換で終了するのと同じなので、つぎのとおり２通りです。
これは $A$ が自分のプレゼントを受け取る場合ですが、自分のプレゼントを受け取る人の決め方はつぎのようになります。
つぎに１回の交換で、４人のうち、ちょうど２人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合を考えます。ここでも特定の２人が自分のプレゼントを受け取るときから考えます。
$A$ さんと$B$ さんが自分のプレゼントを受け取り、$C$ さん、$D$ さんが自分以外のプレゼントを受け取るのは、$C$ さん、$D$ さんだけで交換会を開き、１回の交換で終了するのと同じなので、つぎのとおり１通りです。
ですからちょうど２人が自分のプレゼントを受け取る場合は次のようになります。
１回の交換で、４人のうち、ちょうど３人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は、４人全員が自分のプレゼントを受け取るのと同じです。
これらをすべて足せば、１回の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数が求まります。
１回の交換で交換会が終了する受け取り方は余事象を考えます。
したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は次のように求まります。
⑶ ５人で交換会を開く場合
５人で交換会を開く場合も、４人で交換会を開く場合のときと同様の構想で解いていきます。
１回の交換で、５人のうち、ある特定の１人が自分の持参したプレゼントを受け取り、残りの人たちが自分以外のプレゼントを受け取る場合を考えます。
これは特定の１人を除き、残りの４人だけで交換会を開いて１回目の交換で終了する場合の数と一致します。これは⑵で求めてあり９通りです。
そして自分のプレゼントを受け取る特定の人の選び方を考えれば、５人のうち、ちょうど１人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合の数が求まります。
次に１回の交換で５人のうち、ある特定の２人が自分の持参したプレゼントを受け取り、残りの人たちが自分以外のプレゼントを受け取る場合を考えます。
これは特定の２人を除いた残りの３人だけで交換会を開き１回の交換で終了する場合の数に一致します。
これもすでに求めてあり２通りです。そして自分のプレゼントを受け取る特定の２人の選び方を考えれば、５人のうち、ちょうど２人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合の数が求まります。
次に１回の交換で５人のうち、ある特定の３人が自分の持参したプレゼントを受け取り、残りの２人が自分以外のプレゼントを受け取る場合を考えます。これは１通りです。そして自分のプレゼントを受け取る特定の３人の選び方を考えれば、５人のうち、ちょうど３人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合の数が求まります。
１回の交換で５人のうち、ある特定の４人が自分の持参したプレゼントを受け取るのは、もはや全員が自分のプレゼントを受け取るのと同じですから１通りです。
これらを足せば５人で交換会を開く場合に１回の交換で終了しない場合の数が求まります。
そして余事象を考えます。
したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は次のように求まります。
⑶ 条件付き確率
条件付き確率の定義を確認しましょう。
今回の問題では事象 $A$ と事象 $B$ は次のようになります。
事象 $A$ には $E$ については書かれていません。つまり $E$ は自分のプレゼントを受け取っても受け取らなくても、どちらでも構わないということです。
$E$ についても記述に含めて事象 $A$ を表せば次のようになります。
では「または」で連結されたそれぞれの事象の場合の数を考えましょう。
「１回目の交換で $A, B, C, D, E$ がそれぞれ自分以外の人のプレゼントを受け取る場合」とは「５人で交換会を開き、１回目の交換で交換会が終了する」場合と同じですから⑶で求めたとおり「４４通り」です。
また「１回目の交換で $A, B, C, D$ がそれぞれ自分以外のひとの持参したプレゼントを受け取り、$E$ が自分のプレゼントを受け取る」のは 、$E$ 以外の $A, B, C, D$ ４人だけで交換会を開き、１回目の交換で交換が終了する場合の数と同じですから ⑵ で求めたとおり「９通り」です。
そして、この２つの事象は互いに排反なので、事象 $A$ の場合の数は足して「５３通り」となります。
では $A$ かつ $B$ の場合の数はどうなるでしょうか。これは「５人で交換会を開き、１回目の交換で終了する」のと同じ事象ですね。
ですから、この場合の数は「４４通り」となります。
ではこれまでに求めた場合の数を使って条件付き確率を計算しましょう。
まとめ
この問題も出題者の意向（構想）に沿って解いていけば解答が得られるようになっています。
効率よく解くためには、すでに出した答えを次の問題を説くときに利用できなければなりません。共通テストの問題は、ひとつひとつが有機的なつながりを持っているのです。
苦手になりやすい条件付き確率は、問題を解きやすくするために少し問題文を読み替える必要があります。それができるようになれば条件付き確率を得意にできます。
