家庭教師の想い 
私たちが日々よく使っているのは１０進法です。
あまりにも使い慣れているので、何も考えることなく１０進法を使いこなしていますが、２進法や５進法だって基本的な考え方は１０進法と同じです。
ですから１０進法をもとにして考えれば２進法や５進法を納得しやすいと思います。
それでは先ず１０進法を見直してみましょう。
目次
１０進法
整数や小数を扱う場合、１０進法では「０」から「９」までの合計１０個の文字を使います。ですから次の図のようにボールの個数を数字で表わしたい場合、０個から９個までなら、それぞれの個数に対して１個の文字を割り当てることができます。
しかし「１０」という個数をひとつの文字で表わすには文字が足りません。新しい文字を増やしても構いませんが、文字を無限には増やせませんから「０」から「９」までの１０個の数字を使って表わしたいのです。もう使ってしまっているので混乱するかもしれませんが、１０個の「１０」という表記は「１」という文字と「０」という文字しか使っていませんよね。この意味を考えてみましょう。
１０進法でボールを数えましょう
ボールの数を数えながら棚の上に置いていく作業をイメージして下さい。いちばん下の段にボールを置いていきます。
最初は何もないので０個です。
１個置きます。
また１個置いて２個にします。
これを繰り返して９個にしました。
ここまでは各個数にひとつの文字を割り当てられます。では、ここにもうひとつ加えましょう。
すると１０個になったので、これを袋詰めにしてひとつ上の棚に載せることにします。
上の段に袋がひとつ、そして下の段にボールがないので、これが「１０」です。
そしてまた下の段にボールを置いていきます。
これを繰り返してボールが９個になりました。
そしてまた１０個になったら袋詰めにして上の段に上げます。
上の段に１０個入りの袋がふたつ、そして下の段にボールがないので、これで「２０」です。
これを繰り返し袋が１０個になったら今度は袋をトランクに詰めます。そしてそのまた上の段に上げます。
これが「１００」です。
このようにすれば「０」から「９」までの限られた文字で数を表せるようになるのです。
例えば１０進数の「２５３」は次の図のように「トランクがふたつ、袋が５つ、ボール３つ」を表しています。
１０進法では袋詰めやトランクに詰めるタイミングはすべて１０個溜まったときでしたね。このタイミングを「２個」にしたのが２進法です。では今度は２進法でボールを数えてみましょう。
２進法でボールを数えましょう
何もない「０」は１０進法でも２進法でも変わりません。
１番下の段にボールをひとつ置きます。
これで「１」です。次に２個目を置きます。２個になったら袋詰めにして上の段に置きます。
２進法では、ボール「２個」で袋詰めにして上の段に上げてしまうのです。これが２進法の「１０」です。
この表記は１０進法と変わりませんが、これを「ジュウ」と読んではいけません。「ジュウ」というは１０進法で決めた読み方だからです。１０進法以外での表記の場合、数字の並び方のとおり「イチゼロ」と読むことにしましょう。では、もうひとつボールを加えます。
これが２進法の「１１(イチイチ)」です。もうひとつ加えましょう。
ボールが２個になったので袋詰めにして上の段に上げます。
すると袋もふたつになりました。ふたつの袋はトランクに詰めて上の段に置きます。
これが２進法の「１００(イチゼロゼロ)」です。
ボールをいちばん下に加えます。これが２進法の「１０１(イチゼロイチ)です」
そしてまた１個のボールを加えます。ボールが２個になったのでは袋詰めにします。そして上の段に載せます。
これが「１１０(イチイチゼロ)」です。
そしてボールを加えて「１１１(イチイチイチ)」になりました。
このように表記するのが２進法なのです。
ところで１０進法の「１１１(ヒャクジュウイチ)」と２進法の「１１１(イチイチイチ)」は表記上では区別がつきません。そこで１０進法以外では、次のように小さなカッコをつけて、その中に何進法なのかを示します。
１０進数を２進数に変換する
では、１０進法で表した数を２進法に変えてみましょう。例として、１０進数の「１９(ジュウキュウ)」を２進数に変換します。
１９個のボールをまとめて下の段に置きます。
このボールを袋詰めにしましょう。２進法を使うので２個で袋に入れます。袋はいくつできるでしょうか？
１９を２で割って、その商を求めればいいのですね。
余りは袋詰めにできなかったボールの個数です。
袋は９個できました。では今度は、袋をトランクに入れましょう。トランクはいくつできますか？わかりますね。９を２で割って商を求めればいいのです。
余りは１なので、袋はひとつ残りました。
では、トランクをふたつで箱詰めにしましょう。次のとおりですね。
箱がふたつできたらトラックに載せます。
段の上には「０」個と「１」個だけになりました。これで完成です。つまり次の図のようになりました。
ですから１０進法の「１９(ジュウキュウ)」は２進法では「１００１１(イチゼロゼロイチイチ)」です。
この計算を効率よく行うために次のような縦の計算をよく使います。
上から２で割って商と余りを書いていきます。
２進数を１０進数にする
今度は２進数の「１０１１０」を１０進数に変えてみましょう。さっきの段を使って表せば次のようになります。
この図を見るとトラックやトランク、袋の中にあるボールを考えれば、ボールは全部で２２個あると分かってしまいますね。ですから１０進数では「２２」なのですが、計算式を作るのであれば次のようになります。
この計算をすれば２進数を１０進数に変えることができます。答えは「２２」になりますね。
２進法で表された小数
２進法にも小数があります。これも１０進法をもとにして考えてみましょう。
例えば１０進数の「０.２７４」を考えてます。これは次のように分数の和で表せます。
上の図の「１０分の１」の部分を下の図のように「２分の１」に変えると２進法の意味になります。例えば２進法の「０.１０１」なら次のようになります。
これを先程のボールで表せば次のようになります。
２進法では、小数第１位は「２分の１」を、小数第２位は「４分の１」を、小数第３位は「８分の１」を表しているのです。
ですから、この計算を行うと２進数の小数を１０進数に変換できます。計算してみましょう。
２進法の「０.１０１」は１０進法では「０.６２５」になります。
１０進数の小数を２進数の小数にする
１０進法で表された小数を２進法の小数に変える計算方法を考えます。上の計算式を利用します。
この式の右辺の特徴を利用します。この式の右辺を２倍してみましょう。
するとどうなるかというと…
上の図のように整数部分と小数部分が出てきますが、ここで整数部分だけに着目すると、その値は２進数で表された小数の小数第１位の値と一致します。
これを繰り返せば１０進数の小数を２進数の小数にできるのです。
実際にやってみましょう。１０進法で表された小数の小数部分を２倍、２倍としていけばいいのです。
まとめ
１０進法と２進法が分かれば、３進法も５進法もわかるようになります。ボールの例でいえば、ボールを袋詰めにしたり袋をトランクに入れるタイミングを３個や５個に変えればいいだけなのです。
