角度を数値で表す場合、一般的には「30°」のように度数を用います。これは1回転分の角度を「360°」として1°の角度を定めているのですね。
なぜ「360」なのかは、むかし1年を360日にしていた名残だとか、いろいろ説があるようです。
三角関数では、その使い慣れた度数法を捨てて(捨ててはいませんが)弧度法で角度を表すようにするのは一体なぜでしょうか?
それは数学的な美しさにあるようです。特に微積分では弧度法の方がスッキリ表現できるようになります。
ここではその点は深く掘り下げず、三角関数での弧度法の理解を確実にしていくことに焦点を当てていくことにしましょう。
目次
中心角と円周は比例する
円の中心角とそれに対する弧の長さは比例しますね。これによって扇形の弧の長さや面積を求めたりしました。ですから弧の長さによって角度を表すことができるはずです。
弧度法の角度の単位はラジアン [rad] です。1ラジアン [1rad] は次のように定義されます。

このように定義すれば半径1の円の弧の長さと中心角の大きさが同じ値で一致するようになります。

半径1の円の円周は 2π ですから度数法と弧度法の対応は次のようになります。ふつう単位のラジアン [rad] は省略して書きません。

弧度法を使うとき、度数と弧度の対応が最初の関門ですね。度数法なら使い慣れているので、その数値でどのくらいの角度なのか直ぐに想像できますが、弧度法で角度を言われても最初のうちはどのくらいの角度なのかピンときません。
弧度法で角度のイメージのつかみ方
弧度法では π と分数で角度が表されています。この分数の分母に着目してください。2と3と4と6ですね。π や 2π は分母が1だと考えれば分母は全部で5種類です。
分母が1の弧度
分母が1である弧度の角度は180°の整数倍です。

分母が2の弧度
分母が2である弧度の角度は90°の整数倍です。

分母が3の弧度
分母が3である弧度の角度は60°の整数倍です。

分母が4の弧度
分母が4である弧度の角度は45°の整数倍です。

分母が6の弧度
分母が6である弧度の角度は30°の整数倍です。

このように弧度の分数の分母に着目すると角度がイメージしやすくなります。
扇型の弧の長さと面積
中心角とそれに対する弧の長さは比例します。また中心角とそれに対する扇型の面積も比例します。弧度法を用いると扇型の弧の長さや面積を求める式は次のようになります。

このように弧度法を用いると、とてもスッキリとした式になります。またこれらの式を用いることによって三角関数の微積分の公式もスッキリとした形で表すことができるのです。