【常用対数】これでわかった!定番問題を深掘り解説

いきなりですが次の問題を見て下さい。

あなたは、これを丸暗記ではなく、納得して解けるようになりたいのではないでしょうか?

もしそうなら、これ以上ないほど丁寧に解説しますので、どうぞ、この先を読んでみて下さい。

対数の意味はこちらからどうぞ

この問題は対数 ( log )を使いますが、対数の意味については次の記事で確認して下さい。

【対数(log)わからない】指数までは何とかなるけど対数で挫折!そんな人のための対数講座

指数と対数を具体例で確認

では、わかりやすい例から説明していきます。

例えば、整数256732は6桁ですよね。そして6桁で1番小さな数は100000で、7桁で1番小さな数は1000000ですから、次の不等式が成り立ちます。

100000と1000000を10のべき乗にしましょう。

数字の桁数は、右側の10のべき乗の指数と一致していますね。

このことをよく覚えておいて下さい。では問題に戻ります。

それでは対数の問題を解きましょう

先ず最初に、この2の30乗の値の常用対数を求めます。常用対数とは、10を底とする対数のことです。つまり次の青い四角に入る数値を求めるのと同じです。

で、この四角に入る数値は log を使って表せるのでしたね。

これについては次の記事で説明しています。

【対数(log)わからない】指数までは何とかなるけど対数で挫折!そんな人のための対数講座

対数の公式を使って計算

log を計算していきます。次の公式を使いましょう。

では計算です。

10を底とする2の対数はふつう問題文に与えられていますので、それを使って計算を進めます。

これを代入して数値を求めます。

これで2の30乗の値を10のべき乗に直せました。つまり、

と言うことです。それで指数に着目すると次の不等式が成り立ちますね。

これで2の30乗は10桁だとわかるのです。

どうでしょうか?納得できたでしょうか?これであなたの疑問が解決できたらいいのですが…。もしこれで納得できたら、ついでに次のような問題も片付けてしまいましょう。

類題も解いてみましょう

これも、わかりやすい例から始めます。

0.000523 は、小数第4位に始めて 0 ではない数字が現れますよね。

次のような不等式を作ります。すると

となります。このことを覚えておいて問題に戻ります。常用対数を計算します。

これは何を求めたのかというと

と言うことですよ。ですから次の不等式が成り立ちます。

つまり

ですから小数第7位に始めて0ではない数字が現れるとわかりるのです。

まとめ

具体的な例から考えると納得できる計算ができるようになります。公式を使った計算は、わかりやすい例を使って確認しながら解きましょう。